Предложен новый метод решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений  с невырожденной матрицей A=[a_ij]. Сущность метода состоит в последовательном увеличении количества предыдущих систем уравнений на одну, в каждой из которых количество неизвестных на одно меньше, чем в предыдущих системах. Результатом этого процесса являются рекуррентные формулы, по которым находят решение исходной системы уравнений. Метод применяется для систем уравнений с произвольной невырожденной матрицей A любого порядка, поскольку при решении преобразование матрицы не производится и на каждом этапе обратного хода используются элементы a_ij только одной строки. Для матриц специального вида (трехдиагональные, ленточные, большие разреженные и любые другие, на строках которых ненулевые элементы a_ij расположены компактными группами) их структура учитывается указанием интервалов изменения номера j элементов a_ij в этих группах i-й строки. В этом случае количество производимых арифметических операций резко уменьшается. Количество всех умножений и делений при решении системы уравнений данным методом точно совпадает с таким же количеством этих действий при использовании метода Гаусса. Относительная погрешность решения системы уравнений при этом, как минимум, в f(n) раз меньше, чем в существующих методах.